Platone contro Einstein

Platone contro EinsteinLa nascita della teoria della Relatività Ristretta viene sempre presentata in maniera storicistica (vedi ad esempio qui ).
Si parte da Galilei, poi attraverso Newton, Maxwell, l’esperimento di Michelson ed i risultati di Lorentz si arriva alla grande scoperta di Einstein nel 1905.
In questo percorso storico, una importanza decisiva è assunta dalle equazioni del campo elettromagnetico di Maxwell. Esse dimostrano che la velocità della luce è una costante della Natura: è sempre la stessa qualsiasi sia la velocità della sorgente luminosa.
Einstein conclude il percorso enunciando i suoi due postulati:

  1. Tutte le leggi fisiche (meccaniche oppure elettromagnetiche) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
  2. La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell’osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.

Già pochi anni dopo, alcuni scienziati iniziano a fare delle osservazioni che completo con parole mie:

  • Il primo postulato ha un enunciato così semplice e generale da sembrare una idea platonica, valida di per se stessa.
  • Il secondo postulato trae invece origine dalle sole interazioni elettromagnetiche, stranamente però impone i suoi vincoli all’intero spaziotempo, cioè anche alla meccanica.
    Uno di questi vincoli impone che un corpo dotato di massa non possa mai raggiungere la velocità c (mentre un corpo dotato di massa nulla, come il fotone, si deve sempre muovere a tale velocità).
    Un altro vincolo è così profondo e sorprendente che sembra incredibile debba derivare solo dal campo elettromagnetico:
    E = mc2
  • Le interazioni forti (che legano tra loro i quark per formare i protoni ed i neutroni) sono state scoperte successivamente; anche esse sono soggette ai vincoli dello spaziotempo. Ma perchè? dal momento che sono completamente diverse dall’elettromagnetismo.
  • Un tempo si riteneva che il neutrino (una particella elementare) avesse massa nulla come il fotone e quindi si dovesse muovere sempre con velocità c.
    Ora sappiamo, grazie a misure più accurate, che la massa del neutrino è piccolissima ma non nulla. Quindi non può raggiungere tale velocità.
    Supponiamo che una nuova misura accuratissima del fotone riveli che anch’esso abbia una massa non nulla; allora la velocità della luce sarebbe inferiore a c!
    Ebbene, anche se ciò accadesse la Relatività Speciale sarebbe ancora valida! Infatti si è capito che la velocità limite c è dovuta a ragioni più profonde rispetto alle equazioni di Maxwell. Il fatto che la velocità della luce sia uguale a questa velocità limite NON è essenziale.

Trasformazioni di Lorentz Sistemi di riferimento inerziali La nascita della teoria della Relatività Ristretta viene sempre presentata in maniera storicistica. Il secondo postulato di Einstein deriva dalle Trasformazioni di Lorentz, riportate nella figura di sinistra. Esse ci dicono quale è la relazione fra lo spaziotempo (x, y, z, t) di un osservatore S e quello (x’, y’, z’, t’) di un sistema S’ che si muove a velocità costante v rispetto all’osservatore stesso.A loro volta, queste trasformazioni sono ricavate dalle equazioni di Maxwell.
Nota: Einstein riteneva che Maxwell fosse il più grande scienziato di tutti i tempi, dopo Newton.

Ora il nostro scopo è quello di ricavare le trasformazioni di Lorentz a partire dal mondo delle idee di Platone, cioè a partire da concetti fondamentali ed intuitivi.
Non sto a ricopiare intere pagine di passaggi matematici, ma sintetizzo solo i punti principali del ragionamento (si può saltare la lettura di questi punti e passare alla conclusione finale):

  1. Per semplicità, consideriamo una sola coordinata spaziale e che all’inizio (t= t’= 0) i due sistemi siano sovrapposti (x= x’=0).
    Si tratta di determinare le due equazioni seguenti, che contengono n parametri ancora ignoti:
    x’= F(x,t,a1,…,an)
    t’= G(x,t,a1,…,an)
  2. In realtà, gli n parametri devono ridursi solo ad uno. Infatti se vogliamo vedere se ad un evento E(x,t) in S corrisponde l’evento E(x’,t’) nel futuro di S’, mettiamo questi valori (x, y, x’, t’) nelle equazioni e risolviamo per le incognite a1,…,an. La matematica insegna che se i parametri sono 2 o più, troviamo sicuramente una soluzione.
    Ora vogliamo vedere se allo stesso evento E(x,t) in S corrisponde l’evento E(x’,t”) nel passato di S’, mettiamo questi valori (x, y, x’, t”) nelle equazioni e risolviamo per le incognite a1,…,an. La matematica insegna che se i parametri sono 2 o più, troviamo sicuramente una soluzione.
    A questo punto c’è una contraddizione fisica (viene violato il principio di causalità): quindi i parametri possono essere uno solo.
    Pertanto le equazioni si semplificano così:
    x’= F(x,t,a)
    t’= G(x,t,a)
  3. Adesso teniamo in considerazione che lo spaziotempo è omogeneo: deve avere le stesse proprietà in ogni luogo ed in ogni tempo. Con passaggi matematici, si ricava che le equazioni devono essere lineari:
    x’= H(a)x – K(a)t
    t’= L(a)t – M(a)x
    con altri passaggi si ricava che il parametro a ha le dimensioni di una velocità e le equazioni possono essere scritte in questo modo:
    x’ = γ(v)(x – vt)
    t’ = γ(v)[λ(v)t – μ(v)x]
    dove γ, λ e μ sono tre funzioni ancora da determinare.
  4. Teniamo ora in considerazione che lo spazio è isotropo: non ha una direzione privilegiata. Sul pianeta Terra questo non è vero: l’asse di rotazione Nord-Sud è privilegiato, ma noi stiamo parlando dello spazio vuoto in sé. Si ricava che:
    γ(-v) = γ(v)
    λ(-v) = λ(v)
    μ(-v) = -μ(v)
    da queste equazioni si evince anche che esse sono simmetriche rispetto ad un rovesciamento dell’asse del tempo.
  5. Adesso entrano in ballo dei requisiti matematici:
    • Se conosciamo le equazioni che ci danno (x’,t’) in funzione di (x,t), le equazioni che ci danno (x,t) in funzione di (x’,t’) devono avere la stessa forma, anche se con un parametro v diverso. Da ciò si ricava:
      λ(v) = 1
    • Applichiamo le equazioni due volte in cascata, prima per arrivare a (x’,t’) in S’ a partire da (x,t) in S e poi per arrivare a (x”,t”) in S” a partire da (x’,t’). Le equazioni per arrivare in un colpo solo a (x”,t”) a partire da (x,t) devono mantenere la stessa forma, anche se con un parametro v opportuno. Da tutto ciò si ricava:
      μ(v) = αv
      γ(v) = (1 – αv2)-1/2
      dove α è una costante da determinare.
  6. Siamo finalmente arrivati all’ultimo punto del ragionamento. Per il momento non ci interessa il valore numerico di α. Vediamo invece cosa succede al variare del suo segno:
    • α < 0.
      Possiamo porre α = -k-2 dove k ha le dimensioni di una velocità. Le trasformazioni corrispondenti sono:
      x’ = (x -vt) / (1 + v2/k2)-1/2
      t’ = (t + vx/k2) / (1 + v2/k2)-1/2
      dove si può vedere che a velocità v può assumere qualunque valore;
      mentre la legge di composizione delle velocità è:
      V = (v1 + v2) / (1 – v1 v2/k2)
      Qui però c’è qualcosa che non va!
      Per rispettare il principio di causalità, ci devono essere coppie di eventi tali che, in ogni sistema di riferimento, uno preceda l’altro.
      Invece, in queste traformazioni, se ho un qualsiasi intervallo di tempo Δt > 0, posso ricavare una velocità v per cui Δt’ < 0. Pertanto il principo di causalità viene perso! Esse non hanno senso fisico.
    • α < 0.
      Qui ricadiamo nelle trasformazioni di Galileo!
      Infatti si ricava:
      x’ = x – vt
      t’ = t
      Il principio di causalità è sempre rispettato, perchè Δt = Δt’ sempre.
      V = v1 + v2
    • α < 0.
      Possiamo porre α = c-2 dove c è una costante con le dimensioni di una velocità. Ecco che abbiamo ritrovato le trasformazioni di Lorentz:
      x’ = (x -vt) / (1 – v2/c2)1/2
      t’ = (t – vx/c2) / (1 – v2/c2)1/2
      dove si vede subito che la velocità v è costretta in un intervallo limitato: -c ≤ v ≤ c. Infatti la quantità sotto il segno di radice quadrata deve essere positiva.
      La composizione delle velocità è naturalmente:
      V = (v1 + v2) / (1 + v1 v2/c2)
      Il principio di causalità è rispettato per quei Δt per i quali |Δx/Δt| ≤ c. Questi intervalli sono detti di tipo tempo.

CONCLUSIONE
Abbiamo visto che le vere basi della Relatività Ristretta sono costituite dai seguenti principi fondamentali (che io chiamo idee platoniche):

  • Causalità: se un evento è la causa di un altro evento, lo deve precedere nel tempo e ciò deve essere vero per tutti gli osservatori inerziali.
  • Omogeneità dello spazio e del tempo: nessun luogo e nessun istante è privilegiato rispetto agli altri
  • Isotropia dello spazio: nessuna direzione dello spazio è privilegiata rispetto alle altre
  • Le trasformazioni tra due sistemi di riferimento hanno sempre la stessa forma (si dice che formano un gruppo). Se vado da S a S’ applicando una trasformazione e, poi, da S’ a S” applicandone un’altra, esiste anche la trasformazione diretta da S a S”.

Da queste idee si ricavano le trasformazioni tra sistemi di riferimento, trasformazioni che contengono una velocità limite c, ma che non dicono quale è il suo valore numerico. Per trovarlo occorre confrontarsi con le altri leggi fisiche che descrivono gli enti (punti materiali e campi) contenuti nello spaziotempo.
Si trova che c può essere uguagliata solo dalla velocità di enti con massa nulla. Poichè il fotone ha massa nulla, la velocità della luce coincide proprio con c.
Il fatto che Einstein abbia ricavato la sua teoria a partire dalle equazioni di Maxwell è un puro accidente storico.

Platone contro Einsteinultima modifica: 2011-07-26T16:12:00+00:00da virclarissimus
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4 pensieri su “Platone contro Einstein

  1. Premetto di essere un convito assertore della centralità universale dell'”IO” e della sua unicità e che l’Universo è un’autocostruzione logica, nello “spazio della Conoscenza”, incentrata appunto sulla singolarità “IO” (che non è non l’io) e che è l’Osservatore universale.
    Questa premessa concorda con la costanza della velocità massima della luce, quale che sia la velocità relativa del sistema di riferimento (che non può che essere la ovvia sede dell’IO); però ciò fa nascere qualche dubbio sulla validità dei ragionamenti di Einstein quando tratta delle possibili divergenze o meno di vedute dell’osservatore (con la o minuscola) collocato su un sistema S2 e quelle dell’Osservatore principale -l’IO- posto sul sistema “principale” S1. Se l’IO è l’Osservatore per eccellenza, quello su S2 è solo uno degli elementi costitutivi della catena strumentale di osservazione (che collega l’IO con l’osservabile), come lo è qualsiasi altro strumento per l’osservazione. Si pone, dunque, la necessità di una teoria che l’IO ha da elaborare per “interpretare” le informazioni che, in vario modo, riceve o riceverà da questa catena strumentale.

  2. l’escursus sullo sviluppo della relatività ristretta, appena sopra riassunto, consente che, co senno di poi, qualche riflessione critica in ragione del fatto che all’epoca neon v’era alcuna attenzione riguardo alle proprietà dell’IO (non dell’io, si badi bene), per esempio -e soprattutto- all’accettazione della sua Unicità assoluta o sungolarità origine dell’Universo.

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