Meccanica Quantistica: buca di potenziale animata

Riprendo la serie di articoli sulla Meccanica Quantistica. Questa animazione e quest’altra ci avevano mostrato che un elettrone libero è una oscillazione: un pacchetto di onde che si estende su tutto lo spazio. Per sua sfortuna, esso può venire catturato da un nucleo atomico. Infatti l’elettrone è dotato di carica elettrica negativa ed è attratto inesorabilmente dalle cariche elettriche positive di quest’ultimo. Per descrivere matematicamente l’interazione, si ricorre alla buca di potenziale illustrata qui a fianco. Come al solito, ci limitiamo al caso monodimensionale. Abbiamo una buca larga L e possiamo immaginare che il nucleo atomico sia situato in posizione L/2. Il povero elettrone rimane imprigionato in questa buca di energia (V=0) e non può fuggirne, perchè l’energia che lo blocca è infinita (V=∞). Questa energia è causata dalla forza di attrazione elettrostatica. Ma cosa succede alle infinite onde che formavano l’elettrone quando era libero? Ebbene, si salvano solo le onde che hanno una lunghezza λ che può essere contenuta esattamente in L, come illustrato qui:

si può vedere che le onde ammesse sono:

  • λ = L/2 (n = 1)
  • λ = L (n = 2)
  • λ = L3/2 (n = 3)
  • λ = 2L (n = 4)

e così via.
Risolvendo l’equazione di Schrodinger, a ciascuna di queste onde corrisponde una energia
En = n2h2/8mL2
dove m è la massa dell’elettrone e h la costante di Planck.
E’ importante non tanto l’espressione matematica di sopra, quanto il fatto che la funzione d’onda e la relativa energia possano assumere solo valori ben precisi. Ciò non è altro che la famosa quantizzazione dell’energia: in un atomo, l’ elettrone può avere solo valori discreti di energia.

Invece l’elettrone libero può assumere infiniti valori di energia (uno per ognuna delle sinusoidi che formano il pacchetto d’onde). Si dice che l’elettrone libero si trova in una sovrapposizione di stati.
Il lettore potrebbe chiedere: se si misurasse l’energia di un elettrone libero, che valore si otterrebbe?
Si otterrebbe uno tra gli infiniti valori (tra Emin ed Emax): i valori corrispondenti alle sinusoidi di maggiore ampiezza hanno maggiore probabilità di essere ottenuti.
Ora cosa succede quando questo elettrone libero viene intrappolato da una buca di potenziale (cioè, da un nucleo atomico)? Nessun libro universitario è in grado di dirlo. Dopo un transitorio che nessuno conosce, l’elettrone si ridurrà ad avere solo i valori discreti di energia sopra elencati.
Ora clicchiamo qui per far partire una animazione che visualizza la situazione.
Per spiegarla, eccone un fotogramma.

La buca di potenziale è viola, i livelli di energia ammessi sono verdi (il primo livello di energia è rosso perché è stato selezionato col mouse e possiamo vederne la funziona d’onda di Schrodinger). Selezionando via via gli altri livelli, possiamo visualizzare la relativa funzione d’onda. Notate che ho impostato Wave Function e non Probability Density.
Nota: l’animazione presenta il caso più realistico di buca di altezza finita: se l’elettrone libero è molto energetico, riesce a superare l’atomo senza venirne catturato.
L’elettrone potrebbe trovarsi in una sovrapposizione di stati anche in una buca di potenziale. Per visualizzare cosa succede, clicchiamo su Superposition State e scegliamo due o tre stati contemporaneamente. Lascio al lettore la sorpresa di vedere come cambia la funzione d’onda.
Usando i termini tecnici: gli stati ammessi dall’equazione di Schrodinger si chiamano autostati e l’elettrone che si trova in uno di essi resta in uno stato stazionario. Quando però l’elettrone si trova in una somma (sovrapposizione) di autostati, lo stato complessivo dipende dal tempo. Lo si vede meglio scegliendo di visualizzare Probability Density

Questa animazione andrebbe analizzata molto più in profondità per sviscerare le leggi della meccanica quantistica. Lo faremo in un’altra occasione.

Meccanica Quantistica: buca di potenziale animataultima modifica: 2010-10-10T21:26:00+00:00da virclarissimus
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